ПУЧКОВ ТЕОРИЯ

- специальный математич. аппарат, обеспечивающий единый подход для установления связи между локальными и глобальными свойствами топологич. пространств (в частности, геометрич. объектов) и являющийся мощным средством исследования многих задач в современной алгебре, геометрии, топологии и анализе.

На топологич. пространстве Xзадан предпучок F, если каждому открытому подмножеству сопоставлена абелева группа (кольцо, модуль над кольцом и т. п.) F(U).и всякой паре открытых множеств - гомоморфизм такой, что -тождественный изоморфизм и для каждой тройки . Другими словами, предпучок - контравариантный функтор из категории открытых подмножеств Xи их вложений в категорию групп (колец и т. п.) и их гомоморфизмов. Отображения , наз. гомоморфизмами ограничения (напр., если F(U)-функции какого-либо типа, -ограничения их на меньшее подмножество). На множестве , где - прямой предел, следующимобразом определена топология: для всякого и любого в объявляется открытым множество S, состоящее из тех точек , к-рые служат образами апри определении .В этой топологии слои дискретны и замкнуты в , определяемые прямыми пределами послойные алгебраич. операции на непрерывны, а естественная проекция , при к-рой , является локальным гомеоморфизмом. Пространство вместе с послойными алгебраич. операциями и проекцией рназ. пучком абелевых групп (колец и т. п.) над X, определяемым предпучком F.

Всякое непрерывное отображение , для к-рого x=ps(x), наз. сечением над U. Сечение над X, определяемое всеми нулями в , наз. нулевым. Если нек-рое сечение s равно нулю в точке х, то s совпадает с нулевым сечением в нек-рой окрестности х, поэтому множество тех точек, в к-рых sотлично от нуля (носитель сечения s), замкнуто в U.

Пусть (соответственно , где Ф - нек-рое семейство замкнутых множеств в X, в частности ) - группа (кольцо, модуль и т. п.) всех сечений над U(соответственно сечений над Xс носителями из Ф, в частности сечений с компактными носителями). Соответствие ) является предпучком над X, к-рый наз. предпучком сечений пучка . Используемое при определении топологии на соответствие определяет также гомоморфизмы , коммутирующие с ограничениями на , т. е. гомоморфизм предпучков. Этот гомоморфизм является изоморфизмом при условии, что исходный предпучок Fудовлетворяет требованиям: а) если , то s=s', если равны ограничения s, s' на все U_l.;б) если - такой набор элементов, что ограничения s_l , s_m на U_l.U_m совпадают, то существует , ограничения к-рого на каждое U_l, совпадают с s_l. Понятие предпучка, удовлетворяющего этим требованиям, эквивалентно понятию порожденного им пучка, поэтому такие предпучки также нередко наз. пучками.

Пучок вида , где G - нек-рая группа, наз. постоянными обозначается через G. Локально постоянным наз. пучок, постоянный в достаточно малых окрестностях . Топология таких пучков отделима, если X - отделимое пространство.

В более типичных ситуациях топология может быть неотделимой, даже если отделимо X(таков, напр., пучок ростков непрерывных (или дифференцируемых) функций, порожденный предпучком F, где F(U) - непрерывные (дифференцируемые) функции на U;однако пучок ростков аналитич. ций на многообразии отделим).

Всякий гомоморфизм предпучков приводит к отображению соответствующих пучков , к-рое является локальным гомеоморфизмом и гомоморфно отображает слои в слои; такое отображение пучков наз. гомоморфизмом пучков. Стандартным образом определяются моно- и эпиморфизмы. При любом гомоморфизме образ есть открытая часть , замкнутая по отношению к послойным алгебраич. операциям. Всякая часть , удовлетворяющая этим требованиям, наз. подпучком в . Факторпучок пучка по подпучку определяется как пучок , порожденный предпучком ; при этом имеется эпиморфизм , причем . Для всякого открытого через обозначается подпучок в , являющийся объединением p^-1(U).с нулевым сечением над X, а через - соответствующий факторпучок (ограничение к-рого на XUсовпадает с ограничением ).

Возможность употреблять по отношению к пучкам над Xтакие привычные термины, как гомоморфизм, ядро, образ, подпучок, факторпучок и т. д., вкладывая в эти понятия такой же смысл, как в алгебре, позволяет рассматривать их с категорной точки зрения и применять в П. т. конструкции гомологической алгебры. Возникающие над Xкатегории пучков родственны таким классическим, как категория абелевых групп или категория модулей; в частности, для пучков определяются прямые суммы, бесконечные прямые произведения, индуктивные пределы и др. понятия.

Аппарат П. т. проник в разнообразные области математики благодаря тому, что определены естественные когомологии пространства X с коэффициентами в пучке , причем без каких-либо ограничений на X(что существенно, напр., в алгебраич. геометрии, где возникающие пространства, как правило, неотделимы), и что другие когомологии (в тех или иных конкретных условиях) сводятся к пучковым по крайней мере в тех ситуациях, где их применение оправдано.

Для определения сначала строится каноническая резольвента

где - пучок, определяемый предпучком F, для к-рого F(U).- группа всех (включая разрывные) сечений над U, при этом =F(U),, По определению, получаются заменой символа Г на Г _Ф)). При этом сам пучок удаляется из , так что (для классич. когомологии Н ⁰( Х, G) - группа локально постоянных функций на Xсо значениями в G). Резольвента -точный ковариантный функтор от : точной тройке "коэффициентов" отвечает точная тройка резольвент. Функтор Г _Ф оказывается точным на членах , резольвент, поэтому указанным коэффициентам отвечает точная последовательность когомологии

начинающаяся с Когомологич. последовательность пары (X, А).отвечает тройке ( А - замкнутое множество).

Когомологии обладают следующим свойством "универсальности", раскрывающим их значение: для любой другой резольвенты (т. е. начинающейся с точной последовательности пучков ) имеется естественный гомоморфизм "сравнения" , для описания к-рого в терминах применяются спектральные последовательности. Важен случай, когда пучки резольвенты Ф-а цикличны, т. е. когда при : в этом случае указанный гомоморфизм есть изоморфизм. Основными примерами ацикличных пучков являются вялые пучки (для всех отображения эпиморфны) и мягкие пучки (любое сечение над замкнутым множеством продолжается до сечения над всем X). Канонич. резольвента состоит из вялых пучков. Если X - паракомпактное пространство, то всякий вялый пучок является также и мягким.

Свойство универсальности позволяет сравнивать с пучковыми (а следовательно, и между собой) когомологии, возникающие в более конкретных ситуациях, определять для них те естественные границы, в к-рых их применение эффективно, а также применять методы П. т. для решения конкретных задач. Напр., когомологии Александрова - Чеха можно определить с помощью коцепей, получающихся из коцепей специально подобранной системы открытых покрытий переходом к прямому пределу. Эти коцепи оказываются сечениями пучков ростков коцепей (определяемых аналогично пучкам ростков функций), составляющих резольвенту группы (или даже пучка) коэффициентов, к-рая оказывается мягкой, если пространство паракомпактно. Таким образом, для паракомпактных пространств когомологии Александрова - Чеха совпадают с пучковыми. Аналогичный вывод имеет место для пространств Зариского (в частности, для алгебраич. многообразий). Сечениями пучков резольвенты оказываются и коцепи Алек-сандера - Спеньера, причем резольвента состоит, из мягких пучков, если Xпаракомпактно, в частности, в этом случае когомологии Александера - Спеньера и Александрова-Чеха естественно изоморфны. В случае сингулярных когомологии отождествление коцепей, совпадающих друг с другом на сингулярных симплексах мелкости (произвольных) открытых покрытий, приводит к т. н. локализованным коцепям (дающим те же когомологии), к-рые являются сечениями пучков, определяемых предпучками обычных сингулярных коцепей. Пучки оказываются мягкими, если Xпаракомпактно (а если Xнаследственно паракомпактно, то даже вялыми), но образуют резольвенту при дополнительном требовании, чтобы Xбыло слабо локально стягиваемым (в каждой окрестности Uкаждой точки найдется меньшая окрестность, стягиваемая в точку внутри U). Классич. примером является теорема де Рама: когомологии комплекса дифференциальных форм дифференцируемого многообразия совпадают с обычными когомологиями с коэффициентами в поле действительных чисел (пучки ростков дифференциальных форм являются мягкими и образуют резольвенту : вблизи каждой точки каждая замкнутая дифференциальная форма является точной).

Имеются также резольвенты, отвечающие любым открытым или локально конечным замкнутым покрытиям и позволяющий сравнивать когомологии X с когомологиями покрытий (спектральные последовательности покрытий). В частности, изоморфизм обеспечивается условием Н ^q=0 при для всех элементов покрытия и их конечных пересечений (теорема Лере). Переход к прямому пределу по открытым покрытиям дает изоморфизм когомологий Александрова - Чеха с пучковыми и для непаракомпактных Xпри условии, что в Xимеется достаточно много мелких открытых множеств U, для к-рых при (теорема Картана). Это означает, что применяемые в алгебраич. геометрии когомологий с коэффициентами в когерентных пучках также изоморфны стандартным пучковым когомологиям Н*.

Общие конструкции, обеспечивающие гомоморфизм сравнения, позволяют также сравнивать когомологий

[аналогично )

с ] в случае, когда - любой дифференциальный пучок (т. е. пучок, в к-ром для любого qкомпозиция равна нулю) с ацикличными , где - производные пучки от (являющиеся факторпучками ядер по образам в каждой размерности q). Соответствующие этому спектральные последовательности имеют много различных применений. При этом, если при , то Н* (Г( Х,))=Н*( Х, ). Напр., если в качестве взять пучок цепей (оператор границы понижает размерность на единицу, - цепи пары (X, ХU), слои , то получается зависимость гомологии от всевозможных . На многообразии при q<n=dimX и , т. е. имеет место Пуанкаре двойственность. Если А - открытое или замкнутое подмножество локально компактного X, то гомологии Аопределяются теми сечениями , носители к-рых содержатся в A, а гомологии пары (X, А).- сечениями ограничения на Х А. Наоборот (и это - тоже одно из проявлений двойственности Пуанкаре), если - любая вялая резольвента для когомологий, то ограничение на ХАопределяет когомологии Х А, а сечения с носителями в A - когомологий пары (X, Х А). Пучки вялые, и в случае многообразия гомологич. последовательность пары (X, А). совпадает с точностью до обратной нумерации с когомологич. последовательностью пары (X, Х А). Это означает, что двойственности в многообразиях, подобные Лефшеца двойственности Н _р( Х, U, G)=H^n-p(XU, ), являются частными случаями двойственности Пуанкаре. Оказывается, что соотношения двойственности, не укладывающиеся в эту схему, являются следствиями двойственности Пуанкаре и ацикличности многообразия в нек-рых размерностях. Такая же ситуация возникает в случае непрерывного отображения . Резольвента для когомологий Xопределяет на Yнек-рый дифференциальный пучок , для к-рого слои суть прямые пределы когомологий по окрестностям Uточек у(а для замкнутых отображений , причем .. Возникающая зависимость описывается спектральной последовательностью Лере отображения f (частным случаем к-рой является спектральная последовательность Серра расслоения). Обращение в нуль отвечает ацикличным отображениям, обеспечивая изоморфизмы когомологий Xи Y с соответствующими коэффициентами (теорема Вьеториса и ее обобщения). Упоминавшиеся выше общие конструкции дают также спектральную последовательность отображения, учитывающую (наряду с их когомологич. структурой) степень несвязности прообразов точек, к-рая особенно эффективна для нульмерных или конечно-кратных отображений (в случае накрытий она превращается в спектральную последовательность Картана).

Имеются также специальные спектральные последовательности в категориях G-пространств (пространств, на к-рых определено действие группы G).

В пучковых когомологиях естественным образом определяется мультипликативная структура. Существование специальных вялых резольвент, отображения внутри к-рых определяются нек-рой полусимплициальной структурой, позволяет дать явные формулы для умножения коцепей, аналогичные обычным. Одновременно это дает возможность определить в П. т. и др. когомологич. операции.

Аппарат П. т. находит много применений всюду, где существенно использование абстрактных гомологич. методов: в топологии (гомологич. и когомологич. размерность, локальные гомологии и двойственность, структура различных классов непрерывных отображений, в том числе вложений на плотные подмножества, в частности бикомпактификаций, и т. п.), в теории аналитич. многообразий [гомологии и когомологий с коэффициентами в когерентных аналитич. чках и их приложения, когомологий и аналитические дифференциальные формы, гомологии и аналитич. отоки (аналог теоремы де Рама и т. п.)], а также в абстрактной алгебраич. геометрии (когомологий аффинных, проективных и полных алгебраич. многообразий с коэффициентами в когерентных алгебраич. пучках, алгебраич. двойственность Серра, алгебраическая (комбинаторная) размерность и др.).

Нек-рые основные идеи П. т. и спектральных последовательностей появились в работе Ж. Лере (J. Leray, 1945 и позже) в связи с изучением гомологич. свойств непрерывных отображений локально компактных пространств, к-рым было дано также определение когомологий (с компактными носителями) с коэффициентами в пучке. Довольно полное изложение теории пучков с применением резольвент было дано позже А. Картаном (Н. Cartan). Большое влияние на развитие П. т. оказали данное А. Вейлем (A. Well, 1947) доказательство теоремы де Рама и работы Ж. П. Серра (J.-P. Serre; нач. 50-х гг.) по алгебраич. многообразиям. Когомологий с коэффициентами в пучке определялись первоначально способом Александрова - Чеха. Завершенный вид П. т. приобрела в конце 50-х гг. в работах А. Гротендика (A. Grothendieck) и Р. Годмана (R. Godement), в к-рых была достигнута максимальная общность, а методы значительно упрощены. В частности, было показано, что в категории пучков над Xимеется образующая (т. е. пучок J, допускающий ненулевые гомоморфизмы в любой ненулевой пучок; для пучков абелевых групп ), так что каждый пучок вкладывается в инъективный (теорема Гротендика). В этом состоит причина формальной аналогии между теорией когомологий с коэффициентами в пучках и теорией производных от функторов в категории модулей: в категории пучков над X"достаточно" инъективных объектов (хотя, как правило, мало проективных), и поэтому можно свободно применять все соответствующие средства гомологич. алгебры, в частности определять когомологий (без каких-либо ограничений на X).как производные точного слева функтора (и даже как ). Это же проливает свет и на общую природу, напр., таких понятий, как когомологич. размерность (над ) пространства, алгебраич. размерность многообразия и глобальная размерность кольца. А. Гротендиком дано описание спектральной последовательности для функтора , необходимой в алгебраич. геометрии. Более простой способ конструирования инъективных пучков был найден Р. Годеманом. Он показал также, что для построения теории когомологий вполне достаточно пользоваться предложенной им канонической вялой резольвентой, к-рая с точки зрения гомологич. алгебры оказывается просто одной из ацикличных резольвент пучка. Р. Годеман первым стал применять вялые и мягкие пучки, оказывающиеся ацикличными в том же смысле (мягкие ацикличны лишь при условии паракомпактности X, чем объясняется их использование преимущественно в топологии).

Лит.:[1] Вrеdоn G. Е., Sheaf theory, N. Y., 1967; [2] Годеман Р., Алгебраическая топология и теория пучков, пер. с франц., М., 1961; [3] Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961; [4] Swan R., The theory of sheaves, Chi.- L., 1964.

Е. Г. Скляренко.